Nessa seção, abordaremos assuntos variados, cujo tema tenha alguma relação com Economia e Sociedade. Nesse primeiro texto, que trata de um Paradoxo matemático muito interessante sobre sistema eleitoral, de autoria de Jorge Buesco, nos é permitido questionar sobre um sistema até então inquestionável e livre de dúvidas, ao menos do ponto de vista matemático, como o das eleições. Transcrevo aqui as partes mais substanciais do site http://www.ceticismoaberto.com/:
Eleição pelo Método de Borda
Eleições livres e universais é a essência da democracia, e o princípio de "um homem / um voto" é a expressão máxima da igualdade entre os homens. Nada pode haver de mais justo que os resultados das eleições. Certo? Errado.
O princípio aceito hoje universalmente, de "um homem / um voto", conhecido por "votação plural", não é o processo mais justo de proceder a uma eleição. Pelo contrário. Pode levar a gritante injustiça, elegendo o candidato menos apoiado pelo eleitorado! E estas afirmações nada têm de ideológico. São conseqüências de teoremas demonstrados por matemáticos e publicados na literatura científica.
Nada melhor para esclarecer estas afirmações surpreendentes do que um exemplo. Suponhamos que para um determinado cargo existem três candidatos: o Alberto, o Bernardo e a Catarina (daqui por diante designados respectivamente por A, B e C), e que o universo eleitoral é constituído por 12 pessoas. Cada eleitor tem a sua hierarquia de preferências entre A, B e C. Se um eleitor prefere A ao B e, por outro lado, B a C, vamos designar as suas preferências eleitorais por A>B>C.
Suponhamos então que a ordem de preferência eleitoral dos votantes são as seguintes: para 5 dos eleitores, A>C>B; para 4 dos eleitores, B>C>A; e para os restantes 3, C>B>A. De acordo com a regra de “um homem / um voto”, cada eleitor vota apenas na sua primeira preferência. Resultado – o Alberto é eleito com uns confortáveis 42 %. E com toda a justiça, podemos pensar.
No entanto, uma simples contagem mostra que, retirando-se, por exemplo, o candidato Bernardo, a Catarina ganha ao Alberto por 7 a 5 – porque o Alberto é a primeira escolha para 5 votantes mas a última para 7. Seria eleita a Catarina! E mais. Nas outras eleições entre apenas dois candidatos, a Catarina vence o Bernardo por 8 a 4 e o Bernardo vence o Alberto por 7 a 5.
Estes resultados sugerem fortemente que os eleitores no seu conjunto encaram a Catarina como o melhor candidato, visto que ganha a todos os outros isoladamente, e o Alberto como o pior, visto que perde em comparação com qualquer dos outros. E por ironia do destino, é eleito o Alberto e a Catarina fica em último lugar. O resultado da escolha coletiva foi o menos desejado pela maioria dos próprios eleitores.
Este paradoxo eleitoral tem um único culpado: o processo de contagem dos votos. Ele mostra que a “votação plural” pode, ao contrário do que é intuitivo, não refletir fielmente as opções do eleitorado. Estas observações não são novas. Tudo começou quando, em 1780, o matemático francês Jean-Charles Borda, cansado do que considerava ser má decisão eleitoral da Academia das Ciências, descreveu os defeitos do sistema “Um homem / um voto” (um dos exemplos que forneceu foi o atrás descrito) e propôs um novo sistema, que demonstrou matematicamente ser mais justo. A Academia adotou-o até cerca de 1800, altura em que foi proibido por Napoleão (cuja fama não provém do seu amor à democracia).
O método proposto, conhecido hoje como “contagem de Borda”, é simples. Em lugar de “um homem / um voto”, cada votante deve ordenar os candidatos por ordem de preferência. Se há três candidatos, a primeira escolha do votante recebe 2 pontos, a segunda 1 ponto e a terceira 0 pontos. No final, somam-se os pontos obtidos por cada um dos candidatos. Ganha quem tiver mais pontos.
É mais ou menos clara a superioridade deste método sobre a votação plural na qual é apenas considerada a primeira preferência do eleitor e as suas outras opções são ignoradas. A contagem de Borda retrata com maior fidelidade e precisão as preferências do eleitorado.
Para retomar o exemplo acima, realizemos a eleição entre A, B e C utilizando a contagem de Borda. O resultado é de 15 pontos para a Catarina, 11 para o Bernardo e 10 para o Alberto. Fez-se justiça! A Catarina é eleita e paradoxalmente, o Alberto fica em último.
Cabe ressaltar que o sistema exige em qualquer forma de eleição, a satisfação de uma propriedade, com a qual dificilmente se discorda. A Liberdade. Cada eleitor pode ordenar livremente os candidatos (desde que o faça transitivamente: se prefere A ao B e B ao C, então tem de preferir A ao C).
Para assegurarmos uma eleição justa e livre de paradoxos, basta encontrar um sistema que verifique estas condições e substituir o sistema de voto plural por ele. No entanto, falta aos matemáticos o maior dos trabalhos: convencer os políticos de que, para haver justiça nas urnas, têm de substituir o sistema “um homem / um voto” pela contagem de Borda. Aliás, bom tema para reforma eleitoral, não?
Eleição pelo Método de Borda
Eleições livres e universais é a essência da democracia, e o princípio de "um homem / um voto" é a expressão máxima da igualdade entre os homens. Nada pode haver de mais justo que os resultados das eleições. Certo? Errado.
O princípio aceito hoje universalmente, de "um homem / um voto", conhecido por "votação plural", não é o processo mais justo de proceder a uma eleição. Pelo contrário. Pode levar a gritante injustiça, elegendo o candidato menos apoiado pelo eleitorado! E estas afirmações nada têm de ideológico. São conseqüências de teoremas demonstrados por matemáticos e publicados na literatura científica.
Nada melhor para esclarecer estas afirmações surpreendentes do que um exemplo. Suponhamos que para um determinado cargo existem três candidatos: o Alberto, o Bernardo e a Catarina (daqui por diante designados respectivamente por A, B e C), e que o universo eleitoral é constituído por 12 pessoas. Cada eleitor tem a sua hierarquia de preferências entre A, B e C. Se um eleitor prefere A ao B e, por outro lado, B a C, vamos designar as suas preferências eleitorais por A>B>C.
Suponhamos então que a ordem de preferência eleitoral dos votantes são as seguintes: para 5 dos eleitores, A>C>B; para 4 dos eleitores, B>C>A; e para os restantes 3, C>B>A. De acordo com a regra de “um homem / um voto”, cada eleitor vota apenas na sua primeira preferência. Resultado – o Alberto é eleito com uns confortáveis 42 %. E com toda a justiça, podemos pensar.
No entanto, uma simples contagem mostra que, retirando-se, por exemplo, o candidato Bernardo, a Catarina ganha ao Alberto por 7 a 5 – porque o Alberto é a primeira escolha para 5 votantes mas a última para 7. Seria eleita a Catarina! E mais. Nas outras eleições entre apenas dois candidatos, a Catarina vence o Bernardo por 8 a 4 e o Bernardo vence o Alberto por 7 a 5.
Estes resultados sugerem fortemente que os eleitores no seu conjunto encaram a Catarina como o melhor candidato, visto que ganha a todos os outros isoladamente, e o Alberto como o pior, visto que perde em comparação com qualquer dos outros. E por ironia do destino, é eleito o Alberto e a Catarina fica em último lugar. O resultado da escolha coletiva foi o menos desejado pela maioria dos próprios eleitores.
Este paradoxo eleitoral tem um único culpado: o processo de contagem dos votos. Ele mostra que a “votação plural” pode, ao contrário do que é intuitivo, não refletir fielmente as opções do eleitorado. Estas observações não são novas. Tudo começou quando, em 1780, o matemático francês Jean-Charles Borda, cansado do que considerava ser má decisão eleitoral da Academia das Ciências, descreveu os defeitos do sistema “Um homem / um voto” (um dos exemplos que forneceu foi o atrás descrito) e propôs um novo sistema, que demonstrou matematicamente ser mais justo. A Academia adotou-o até cerca de 1800, altura em que foi proibido por Napoleão (cuja fama não provém do seu amor à democracia).
O método proposto, conhecido hoje como “contagem de Borda”, é simples. Em lugar de “um homem / um voto”, cada votante deve ordenar os candidatos por ordem de preferência. Se há três candidatos, a primeira escolha do votante recebe 2 pontos, a segunda 1 ponto e a terceira 0 pontos. No final, somam-se os pontos obtidos por cada um dos candidatos. Ganha quem tiver mais pontos.
É mais ou menos clara a superioridade deste método sobre a votação plural na qual é apenas considerada a primeira preferência do eleitor e as suas outras opções são ignoradas. A contagem de Borda retrata com maior fidelidade e precisão as preferências do eleitorado.
Para retomar o exemplo acima, realizemos a eleição entre A, B e C utilizando a contagem de Borda. O resultado é de 15 pontos para a Catarina, 11 para o Bernardo e 10 para o Alberto. Fez-se justiça! A Catarina é eleita e paradoxalmente, o Alberto fica em último.
Cabe ressaltar que o sistema exige em qualquer forma de eleição, a satisfação de uma propriedade, com a qual dificilmente se discorda. A Liberdade. Cada eleitor pode ordenar livremente os candidatos (desde que o faça transitivamente: se prefere A ao B e B ao C, então tem de preferir A ao C).
Para assegurarmos uma eleição justa e livre de paradoxos, basta encontrar um sistema que verifique estas condições e substituir o sistema de voto plural por ele. No entanto, falta aos matemáticos o maior dos trabalhos: convencer os políticos de que, para haver justiça nas urnas, têm de substituir o sistema “um homem / um voto” pela contagem de Borda. Aliás, bom tema para reforma eleitoral, não?
Equivale à mediana na estatística. Ok. Mas poderíamos ir além. É justo a Catariana vencer com 50% dos pontos possíveis? Se fosse para um segundo turno, ela não poderia perder para o outro candidato? Para tudo isso existe o segundo turno. Todas as regras são discutíveis. Maioria absoluta? Maioria simples? Metade mais um? O importante mesmo seriam regras impeditivas para a participação de alguns candidatos e o que cada candidato deve fazer após uma derrota eleitoral, mas o espaço é curto para se discutir isso aqui...
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